承諾書に関しては、前述の通りです。
別人が書いても判らないでしょう。

それと、中絶は健康保険は適用されません。
（出産に問題が有って健康上の理由で無理な時は保険を使うことが出来る場合
も有りますが）
通常は病院側が身元確認の為に使うだけです。
依ってその心配は不要ですね。

そもそも、確定申告といっても通常１年間に１０万以上医療費（病院だけでな
く、交通費を含む）は、申告すると１０万を超えた分が所得控除に成るだけで
、申告していない分は関係有りません。

ですから、中絶代もある種医療費ですが、申告しなければ関係は無いです。
税務署もわざわざ余分に還付する気はなく、正しく申告された分だけを確認し
て還付するだけです。

まずは、早めに処置することが一番です。
後日結果的に親にバレたとしても、処置が遅くてもう下ろせないと言うよりは
ましでしょう。