一応黙っておかなくちゃダメなんだけど、
相手が患者の家族だったらしゃべっちゃうかもね
「初めてではないからわかってるとは思いますけど、一応手術後の注意事項
を説明させてもらいますね」みたいにアッサリ言っちゃうかも
だから、「親にもナイショだから、黙ってて欲しいんです」みたいに
医者か看護師にきちんと言っておいたほうがいいと思うね

病院の医師には黙秘権があり、犯罪などで捜査に必要な場合など以外は患者の情報
は非公開です。
もし患者の情報を許可なく公開するとその医師が「医師法違反」で処罰されます。

初めては親に内緒でおろしたんですが、病院の先生は黙っててくれるのでしょうか？

子宮口の形が全然違うからね
ただし流産だったのか、中絶したのかの区別はつかないよ