ええと、まずお断りしますが、私は医療職ではありません。
整理すると、あなたは以前アルバイトをしていた病院に受診した。その病院の職員Ａは、Ａと仲の良かった元職員のＢに、あなたが受診してきたことをメールで伝えた。Ａは心配したのでメールしたと言い、あなたは納得していない。Ａの行動は、守秘義務違反にならないのか？病院に相談しても埒が明かなかったので、どこへ行ったら良いのか？ ですね。
医師や看護師は、正当な理由がなく、業務の際に知り得た秘密を漏らしてはならないという法規定があったと思います。（罰則規定まであるかは知りません)Ａさんの職種身分はなんでしょう？（医療事務等ならよく分かりません）
正当な理由とは、ケアのための情報交換の必要などであり、現在辞めたＢさんに、業務として伝える必要はないでしょう。
顔見知りとはいえ、軽率な行動であると言えます。

メールの内容は、どの程度の深さだったのでしょうか。来院したことに加え、病名等もでしょうか。

個人的な意見として。Ａさんは職業人として、認識が甘い面があるとは思いますが、顔見知りの世間話として、話題に出ることは、心情的には理解ができます。